حشمت سنجری سال ۱۲۹۶ در تهران متولد شد. پدرش حسین از نوازندگان نام آشنای تار در زمان خود بود که از شاگردان درویش خان، علینقی وزیری و مرتضی نی داوود به شمار می آمد.
نخستین آشنایی حشمت با موسیقی آموزش هایی بود که پدرش به او داد پس از آن در مدرسه موسیقی به فراگیری تار پرداخت. پس از آن مدتی در گروه کُر آواز کودکان هنرستان موسیقی کار کرد. در ادامه ساز ویولن را انتخاب کرد و نزد علینقی وزیری، روح الله خالقی و ابوالحسن صبا موسیقی را ادامه داد.
پس از پایان هنرستان در سن نوزده سالگی موسیقی کلاسیک غربی را انتخاب کرد و برای نواختن متدهای کلاسیک راهی کلاس سرژ خوتسیف (ویولن نواز مهاجر از روسیه و از استادان کنسرواتوار تهران) شد. سال ۱۳۱۷ به هنرستان عالی موسیقی راه یافت و نوازندگی را ادامه داد.
پس از آن به عنوان نوازنده ویولن ارکستر سمفونیک تهران مشغول کار شد. سال ۱۳۲۸ با اجرای کنسرتو ویولن بتهوون با ارکستر سمفونیک تهران همراه شد. آن زمان رهبری ارکستر تهران را پرویز محمود بر عهده داشت و همان سال ها رهبری ارکستر را نیز از محمود آموخت و سال ۱۳۲۰ به رهبری ارکستر هنرجویان هنرستان عالی موسیقی پرداخت. سرانجام نیز در سال ۱۳۳۴ رهبری ارکستر تهران را بر عهده گرفت. سال بعد راهی سفری مطالعاتی آمریکا شد تا به تحقیق و تحصیل موسیقی بپردازد. او درعین حال همکاری خود با ارکستر سمفونیک را ادامه داد. سال ۱۳۳۶ راهی اتریش شد و به تحصیل در رشته رهبری ارکستر در آکادمی موسیقی و هنرهای نمایشی وین نزد هانس اسوروسکی (Swarovsky.H) پرداخت.
در ۱۳۳۹ به ایران بازگشت و رهبری ارکستر سمفونیک تهران را که موقتاً به هایمو توبیر ( Tauber.H) رهبر و آهنگساز اتریشی سپرده شده بود، در دست گرفت.
سنجری تا سال ۱۳۵۱ رهبری ثابت ارکستر سمفونیک تهران را در دست داشت. در دوران رهبری او نوازندگان برجسته ای چون یهودی منوهین، رافی پتروسیان و ایزاک اشترن ارکستر تهران را در برنامه هایی همراهی می کردند. او در این سال ها همچنین به عنوان رهبر میهمان به کشورهای دیگر نیز سفر کرد که می توان به رهبری ارکستر هایی در اتحاد شوروی سابق، لهستان، رومانی و ترکیه اشاره کرد.
سنجری در اوایل دهه پنجاه تا زمان انقلاب به عنوان سرپرست هنری تالار رودکی و مشاور وزیر به فعالیت ادامه داد و چندین اپرا و باله را رهبری کرد اما سرپرستی ارکستر به فرهاد مشکات سپرده شد. او رهبری ارکستر مجلسی رادیو و تلویزیون ملی ایران را نیز به عنوان رهبر مهمان در چند کنسرت به عهده داشت.
پس از انقلاب سنجری دوباره رهبری ارکستر را به عهده گرفت و ده سال در این سمت به کارش ادامه داد. گر چه ارکستر در طول این سال ها فعالیت و برنامه های چندانی را به اجرا در نیاورد اما سنجری در حفظ و تداوم کار آن کوشید با وجودی که بسیاری از نوازندگان ارکستر پش ار انقلاب مهاجرت کرده بودند ارکستر را حفظ کرد و برنامه هایی با نوازندگان باقیمانده و چند نوازنده جایگزین ادامه داد. او تقریبا حدود دوازده سال رهبری ارکستر را در دست داشت و سرانجام در پاییز ۱۳۶۸ پس از اجرای کنسرتی به مناسبت چهلمین روز درگذشت مرتضی حنانه با ارکستر سمفونیک تهران برای همیشه خداحافظی کرد. یکی از آشناترین و معروف ترین آثار سنجری تابلوی ایرانی یا سوئیت ایرانی است که بارها توسط خود او و رهبران دیگر ارکستر اجرا شده است.
از دیگر آثار او می توان به نیایش یزدان، سرود دانشگاه، سرود قهرمانان آسیا،رنگارنگ و... اشاره کرد. این هنرمند بزرگ چهاردهم دی ماه سال ۱۳۷۳ درگذشت.