کریم صالح‌ عظیمی در ۱۶ دی سال ۱۳۲۵ در تبریز متولد شد. او با شنیدن صدای آواز ابوالحسن خان اقبال آذر (اقبال السطان) به موسیقی سنتی علاقمند شد و پس از معرفی از سوی محمود فرنام (نوازنده نامی دایره) به محضر ابوالحسن اقبال آذر راه یافت.
او در اواخر عمر اقبال جلساتی را نزدش به فراگیری ردیف آوازی و شیوه آوازخوانی آن استاد گذراند.
پس از فوت اقبال آذر بنا به درخواست وزارت فرهنگ و هنر وقت، به تهران آمد و پس از گذراندن دوره عالی ردیف آوازی در محضر عبدالله خان دوامی موفق به اخذ گواهینامه پایان دوره کامل ردیف با دستخط این استاد نامی شد.
تاکنون دو اثر (آوای همایون و آواز شور) از صالح عظیمی منتشر شده‌ است.
او کنسرت‌هایی را با مجید کیانی، داریوش طلایی و محسن نفر و داود آزاد اجرا کرده است که عمده آنها با تاکید بر اجرای ردیف موسیقی کلاسیک‌آوازی ایران تدوین شده بودند.
همچنین به همراه داود آزاد کنسرت‌هایی را در داخل و خارج از ایران به صحنه بردند و مدتی نیز با حمید سکوتی کنسرت‌هایی برگزار کردند.
صالح عظیمی ردیف‌دان و مدرس آواز و خواننده موسیقی سنتی تاکنون تنها ارائه‌دهنده سبک و شیوه آوازی استاد اقبال آذر است و وفادارترین شاگردی به شمار می رودکه استاد آذر طی یک صد و چند سال زندگی خویش تربیت کرد.
انس و مودت صالح عظیمی تا آخرین لحظه حیات به اقبال ادامه یافت و او از محضر آن خواننده بزرگ بهره بسیار برد و به حد مقبول اهل فن از لحاظ اجرای آواز ایرانی رسید تا جایی که روزی در حضور استاد شهریار، استاد محمود فرنام و دکتر بهروزیه به امر استاد اقبال آذر ، دنباله آواز چهارگاه را پس از استاد در گوشه های حصار، کرشمه ، مویه و فرود ادامه داد و مورد تشویق حاضران (که همگی صاحب نظران موسیقی اصیل ایران بودند) قرار گرفت.
در حقیقت می‌توان صالح عظیمی را در بخش آموزش ردیف‌های مکتب تبریز، تنها یادگار اقبال بزرگ دانست.